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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6.
Use el criterio de la raíz o del cociente, según convenga, para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:
a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}$
a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}$
Respuesta
En este caso, con ese factorial ahí, vamos a probar de aplicar el criterio de D'Alembert.
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El término general de nuestra serie es:
$ a_n = \frac{n!}{n^n} $
Primero, encontramos la expresión para \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\):
$ a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} $
Entonces el cociente nos queda:
$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} = \frac{(n+1)! \cdot n^n}{(n+1)^{n+1} \cdot n!} $
Simplificamos las factoriales:
$\frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1) \cdot (n+1)^n} = \frac{n^n}{(n+1)^n} $
Ahora podemos reescribir \(\frac{n^n}{(n+1)^n}\) así:
$ \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n $
Ahora, tomamos el límite cuando \(n \to \infty\):
$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n $
Estamos frente a una indeterminación de tipo $1$ elevado a $\infty$... y si gente, no ibamos a zafar de que nos aparezcan también acá en series. Tenemos que seguir los mismos pasos para salvarla que hacíamos en sucesiones y deberías llegar a:
$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = e^{-1} $
Como el resultado del límite es $< 1$, entonces D'Alembert nos asegura que nuestra serie converge ;)