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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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6. Use el criterio de la raíz o del cociente, según convenga, para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:
a) ∑n=1∞n!nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}

Respuesta

En este caso, con ese factorial ahí, vamos a probar de aplicar el criterio de D'Alembert.

El término general de nuestra serie es: an=n!nn a_n = \frac{n!}{n^n} Primero, encontramos la expresión para an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n}: an+1=(n+1)!(n+1)n+1 a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}

Entonces el cociente nos queda:

an+1an =(n+1)!(n+1)n+1n!nn=(n+1)!⋅nn(n+1)n+1⋅n!\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} = \frac{(n+1)! \cdot n^n}{(n+1)^{n+1} \cdot n!}
Simplificamos las factoriales: (n+1)⋅nn(n+1)n+1=(n+1)⋅nn(n+1)⋅(n+1)n=nn(n+1)n\frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1) \cdot (n+1)^n} = \frac{n^n}{(n+1)^n} Ahora podemos reescribir nn(n+1)n\frac{n^n}{(n+1)^n} así: nn(n+1)n=(nn+1)n \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n Ahora, tomamos el límite cuando n→∞n \to \infty: lim⁡n→∞(nn+1)n \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n

Estamos frente a una indeterminación de tipo 11 elevado a ∞\infty... y si gente, no ibamos a zafar de que nos aparezcan también acá en series. Tenemos que seguir los mismos pasos para salvarla que hacíamos en sucesiones y deberías llegar a:
lim⁡n→∞(nn+1)n=e−1 \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = e^{-1}

Como el resultado del límite es <1< 1, entonces D'Alembert nos asegura que nuestra serie converge ;)
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